Bài chính: Giới hạn hàm sốKhi x nằm trong khoảng (c - δ, c + δ) thì f(x) nằm trong khoảng ε (L - ε, L + ε)Với mọi x > S, f(x) nằm trong khoảng ε (L - ε, L + ε)

Giả sử f(x) là một hàm số giá trị thực và c là một số thực. Biểu thức

lim x → c f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L}

có nghĩa là f(x) sẽ càng gần L nếu x đủ gần c. Trong trường hợp này, ta nói giới hạn của f(x), khi x đạt đến c là L. Cần chú ý rằng điều này cũng đúng cả khi f(c) ≠ L cũng như khi hàm số f(x) không xác định tại c. Ví dụ, xét hàm số

f ( x ) = x 2 − 1 x − 1 {\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}-1}{x-1}}}

thì f(1) không xác định nhưng khi x tiến tới 1 thì f(x) tiến tới 2:

f(0.9)	f(0.99)	f(0.999)	f(1.0)	f(1.001)	f(1.01)	f(1.1)
1.900	1.990	1.999	không xác định	2.001	2.010	2.100

Như vậy, f(x) có thể gần 2 một cách tùy ý, chỉ cần cho x đủ gần 1.

Karl Weierstrass đã hình thức hóa định nghĩa giới hạn hàm số bằng phương pháp (ε, δ) vào thế kỉ 19.

Ngoài trường hợp hàm số f(x) có giới hạn tại một điểm hữu hạn, hàm số f(x) còn có thể có giới hạn tại vô cực. Ví dụ, xét hàm số

f ( x ) = 2 x − 1 x {\displaystyle f(x)={2x-1 \over x}}

• f(100) = 1.9900
• f(1000) = 1.9990
• f(10000) = 1.9999

Khi x trở nên vô cùng lớn thì giá trị của f(x) tiến dần đến 2, và giá trị của f(x) có thể gần 2 một cách tùy ý, chỉ cần cho x đủ lớn. Ta nói "giới hạn của hàm số f(x) tại vô cực bằng 2" và viết

lim x → ∞ f ( x ) = 2. {\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=2.}